高等数学学习笔记（Advanced mathematics notes）

这是我的高等数学学习笔记，用于方便的查询我学习的进度（以及学一下latex语法） 脑子一抽想试试用markdown来记数学笔记，希望不会又不填坑

目录（Table of Contents）

• 高等数学学习笔记（Advanced mathematics notes）
  • 目录（Table of Contents）
  • 一.零基础知识
    • 1.基本逻辑
    • 2.数学归纳法
  • 二.函数极限与连续
    • 1.定义
    • 常用等价无穷小替换表
    • 使用等价无穷小的核心规则和注意事项
    • 洛必达法则的适用条件
    • 两个重要极限

一.零基础知识

一些基础知识防止上大学上成傻逼了都忘了

1.基本逻辑

歪日真有点记不清了

若A $\Rightarrow$ B,则称A是B的充分条件，B是A的必要条件
若A $\iff$ B,则称A是B的充要条件
若A $\ne$ B,则称A是B的无关条件

$$A\Rightarrow B,则\neg B\Rightarrow \neg A$$
$$\neg (A\cap B)=\neg A\cup \neg B$$ $$\neg (A\cup B)=\neg A\cap \neg B$$

2.数学归纳法

设T(n)是关于自然数n的命题，

1. T(1)成立
2. 设T(k)(k>=1)成立
3. 证明T(k+1)成立

则T(n)成立

二.函数极限与连续

1.定义

1.函数极限的 ε-δ 定义

函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋近于 $c$ 时的极限是 $L$，记作：

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$$

这直观地表示：当 $x$ 的值“足够接近”点 $c$ 时（但不等于 $c$），函数 $f(x)$ 的值就可以“任意地接近”值 $L$。

2. 形式化定义：

设函数 $f$ 在点 $c$ 的一个去心邻域内有定义。极限 ${\lim }_{x\to c}f(x)=L$ 成立，当且仅当：

对于任意给定的正数 $ϵ$（无论它有多小），总存在一个正数 $\delta$，使得对于所有满足 $0<|x-c|<\delta$ 的 $x$，都有 $|f(x)-L|<ϵ$ 成立。

用逻辑量词的语言来表达，即：

$$\forall ϵ>0,\exists \delta >0\text{ 当 }\forall x,(0<|x-x_0|<\delta \to |f(x)-L|<ϵ)$$

核心前提：下面的所有等价关系，都是在自变量 $x\to 0$ 的前提下成立的。

常用等价无穷小替换表

使用等价无穷小的核心规则和注意事项

1. 前提是 $x\to 0$：

   • 如果 $x\to 1$，那么 $\ln (x)=\ln (1+(x-1))\sim (x-1)$。
   • 核心：你必须替换掉趋向于0的那个部分。

2. 只能在乘除法中替换：

   • 正确：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x}=1$
   • 正确：${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan (x)\cdot (e^x-1)}{\ln (1+x)\cdot (1-\cos (x))}={\lim }_{x\to 0}\frac{x\cdot x}{x\cdot (\frac{1}{2}{x}^2)}={\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{\frac{1}{2}{x}^3}=\infty$

3. 绝不能在加减法中随意替换 (除非特殊情况)：

   • 错误示例：${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan (x)-\sin (x)}{x^3}$
   • 如果错误地替换 $\tan (x)\to x$ 和 $\sin (x)\to x$，会得到 ${\lim }_{x\to 0}\frac{x-x}{x^3}=0$。
   • 正确做法 (方法一：泰勒展开)： $\tan (x)=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$ $\sin (x)=x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$ 原式 $={\lim }_{x\to 0}\frac{(x+\frac{1}{3}{x}^3)-(x-\frac{1}{6}{x}^3)}{x^3}={\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}{x}^3}{x^3}=\frac{1}{2}$
   • 正确做法 (方法二：通分变换)： 原式 $={\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}-\sin (x)}{x^3}={\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)(1-\cos (x))}{x^3\cos (x)}$ 现在是乘除法了，可以替换： $={\lim }_{x\to 0}\frac{(x)\cdot (\frac{1}{2}{x}^2)}{x^3\cdot (1)}=\frac{1}{2}$

4. 加减法替换的例外 (非等阶无穷小)：

   • 如果两个无穷小不是等阶的，加减时可以“抓大头”（保留低阶项）。
   • 例如：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)+x^2}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x+x^2}{x}={\lim }_{x\to 0}(1+x)=1$。
   • 这里 $\sin (x)$ 是 $x$ 的一阶无穷小， $x^2$ 是二阶无穷小。$x$ 是主导项（低阶项），所以 $\sin (x)+x^2\sim x$。

把这个表和规则记牢，求极限会快很多！

洛必达法则的适用条件

假设我们要计算极限 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ （这里的 $a$ 可以是有限值，也可以是 $\infty$ 或 $-\infty$）：

1. 函数极限为 0/0 或 $\infty$/$\infty$ 型

   • 这是最重要的前提条件。你必须首先检查极限是否为“未定式”。
   • $0/0$ 型：${\lim }_{x\to a}f(x)=0$ 并且 ${\lim }_{x\to a}g(x)=0$。
   • $\infty /\infty$ 型：${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$ 并且 ${\lim }_{x\to a}g(x)=\pm \infty$。
   • 注意：这里的 $\infty$ 不区分正负。

2. 函数可导

   • 在点 $a$ 的某个去心邻域内（即不包括 $a$ 点本身的一个小区间，如 $(a-\delta ,a)\cup (a,a+\delta )$），函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都必须是可导的。

3. 分母导数不为零

   • 在上述的同一个去心邻域内，分母的导数 $g^{\prime }(x)$ 必须不等于 0。
   • （这个条件在实际应用中通常是满足的，如果 $g^{\prime }(x)$ 在 $a$ 附近处处为0，那么 $g(x)$ 就是个常数，极限一开始就不会是 $0/0$ 或 $\infty /\infty$ 型）。

4. 导数商的极限存在

   • ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 这个新的极限必须存在。
   • “存在”在这里有两种含义：
     • 极限为一个有限的常数 $L$。
     • 极限为无穷大（$\infty$ 或 $-\infty$）。
   • 如果导数商的极限不存在（例如，它是一个振荡的极限，像 ${\lim }_{x\to \infty }\cos (x)$），那么洛必达法则不适用，你不能反过来说明原极限不存在。

总结（结论）：

只有当上述四个条件同时满足时，你才能使用洛必达法则，并且原极限等于导数商的极限：

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

使用时的常见陷阱与注意事项

• 陷阱一：不是 $0/0$ 或 $\infty /\infty$ 型就用

  • 致命错误。例如：${\lim }_{x\to 0}\frac{x+1}{x+2}$。
  • 原极限 $=\frac{0+1}{0+2}=\frac{1}{2}$。
  • 如果错误使用洛必达法则：${\lim }_{x\to 0}\frac{(x+1{)}^{\prime }}{(x+2{)}^{\prime }}={\lim }_{x\to 0}\frac{1}{1}=1$。（错误）

• 陷阱二：导数商的极限不存在，就说原极限不存在

  • 错误。例如：${\lim }_{x\to \infty }\frac{x+\sin (x)}{x}$
  • 这是 $\infty /\infty$ 型。如果使用洛必达法则：${\lim }_{x\to \infty }\frac{(x+\sin (x){)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}={\lim }_{x\to \infty }\frac{1+\cos (x)}{1}$。这个新极限在1和2之间振荡，极限不存在。
  • 但原极限是存在的：${\lim }_{x\to \infty }\frac{x+\sin (x)}{x}={\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{\sin (x)}{x})=1+0=1$。
  • 这说明洛必达法则失效，必须换用其他方法（如夹逼定理或等价无穷小）。

• 陷阱三：用于其他未定式（$0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, $1^{\infty }$, $0^0$, ${\infty }^0$）

  • 洛必达法则不能直接用于这些类型。你必须首先通过代数变形（例如通分、取对数、写成倒数形式）将它们转化为 $0/0$ 或 $\infty /\infty$ 型，然后再使用洛必达法则。

两个重要极限

第一个重要极限：

1. 公式 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$$

2. 形式解读

• 这是一个 $0/0$ 型的未定式。
• 这个极限的核心是：当 $x$ 趋近于0时，$\sin (x)$ 这个无穷小量与 $x$ 是等价无穷小。
• 适用条件：公式中的 $x$ 可以替换为任何趋向于0的表达式。
  • 例如：${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin (u)}{u}=1$。
  • ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (5x)}{5x}=1$ （此时 $u=5x$，当 $x\to 0$ 时 $u\to 0$）
  • ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sin (x-1)}{x-1}=1$ （此时 $u=x-1$，当 $x\to 1$ 时 $u\to 0$）

3. 意义与应用

• 计算导数的基础：它是推导 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ 导数公式的关键步骤。
• 解决 $0/0$ 型极限：在求极限时，它可以用来替换 $\sin (x)$，是等价无穷小替换中最基本的一个。

第二个重要极限：

1. 公式 (两种等价形式)

形式一 ( $x\to \infty$ )： $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$

形式二 ( $x\to 0$ )： $$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$ (注：形式二是由形式一通过令 $t=1/x$ 换元得到的，当 $x\to \infty$ 时，$t\to 0$)

2. 形式解读

• 这是一个 $1^{\infty }$ 型的未定式。
• 这个极限定义了自然常数 $e$ ($e\approx \mathrm{2.71828...}$)。
• 适用条件：公式必须严格满足 $(1+\text{无穷小}{)}^{\text{无穷大}}$ 的结构，并且无穷小和无穷大的指数部分必须是互为倒数的关系。
  • ${\lim }_{u\to 0}(1+u{)}^{\frac{1}{u}}=e$
  • ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{k}{x}{)}^x={\lim }_{x\to \infty }{\left[(1+\frac{k}{x}{)}^{\frac{x}{k}}\right]}^k=e^k$
  • ${\lim }_{x\to 0}(1+2x{)}^{\frac{1}{x}}={\lim }_{x\to 0}{\left[(1+2x{)}^{\frac{1}{2x}}\right]}^2=e^2$

3. 意义与应用

• 定义自然常数 $e$：这是 $e$ 最早被发现和定义的方式，与银行复利计算的极限密切相关。
• 计算 $1^{\infty }$ 型极限：这是解决此类未定式极限的标准工具，通常需要通过换元或凑指数的方式将其转化为标准形式。
• 推导导数 ：它是推导 $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$ 和 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ 的基础。

这两个极限在微积分中扮演着承上启下的作用，是必须熟练掌握的。